Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖E、F分別是BB₁，CD的中點．
（Ⅰ）求證：平面AD₁F⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直線EF與AD₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）設棱長為2，以D為原點，建立空間直角坐標系，利用微量 法能證明平面AD₁F⊥平面ADE．
（Ⅱ）由

EF

=（-2，-1，-1），平面AD₁F的法向量

m

=（1，2，1），利用向量法能求出直線EF與AD₁F所成角的正弦值．

解答： （1）證明：設棱長為2，以D為原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），D₁（0，0，2），

DA

=(2，0，0)，

DE

=(2，2，1)，

AD1

=(-2，0，2)，

AF

=（-2，1，0），
設平面ADE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DA =2x=0 n • DE =2x+2y+z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，-2)，
設平面AD₁F的法向量

m

=(a，b，c)，

m • AD1 =-2a+2c=0 m • AF =-2a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，2，1），
∵

n

•

m

=0+2-2=0，
∴平面AD₁F⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：設直線EF與平面AD₁F所成角的為θ，
∵

EF

=（-2，-1，-1），平面AD₁F的法向量

m

=（1，2，1），
∴sinθ=|cos＜

EF

，

m

＞|=|

-2-2-1

6 • 6

|=

5

6

．
直線EF與AD₁F所成角的正弦值

5

6

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．