某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：
利用時間充分 利用時間不充分 總計(jì)
走讀生 50 25 75
住宿生 10 15 25
總計(jì) 60 40 100
是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：
P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
分析：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖可知：學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=
5
100
，由此能夠求出n的值并補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）求出K2，比較K2與3.841的大小，能夠判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題設(shè)條X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，能夠得到X的分布列和EX．
解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100
，
∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=
5
100
，
由題n×
5
100
=5∴n=100，…（2分）
又P3=
1
300
×30=
10
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，
P6=
1
200
×30=
15
100
，P7=
1
300
×30=
10
100
，
P8=
1
600
×30=
5
100
，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）
=1-
1+4+10+30+15+10+5
100
=1-
75
100
=
25
100
，
第④組的高度h=
25
100
×
1
30
=
25
3000
=
1
120
．
頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K2=
100×(50×15-25×10)2
75×25×40×60
≈5.556
由于K2＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，
第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計(jì)20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）=
C
0
5
C
3
15
C
3
20
=
91
228
，
P（X=1）=
C
1
5
C
2
15
C
3
20
=
35
76
，
P（X=2）=
C
2
5
C
1
15
C
3
20
=
30
228
，
P（X=3）=
C
3
5
C
0
15
C
3
20
=
1
114
，
∴X的分布列為：
P 0 1 2 3
X
91
228
35
76
5
38
1
114
EX=0×
91
228
+1×
105
228
+2×
30
228
+3×
2
228
=
1×105+2×30+3×2
228
=
171
228
=
3
4
．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•葫蘆島模擬）根據(jù)遼寧省期初教育工作會議精神，我省所有中小學(xué)全部取消晚自習(xí)，某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：
利用時間充分 利用時間不充分 總計(jì)
走讀生 50 25 75
住宿生 10 15 25
總計(jì) 60 40 100
是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
參考公式：K2=
n(n11n22-n12n21)2
(n22+n21)(n11+n12)(n11+n21)(n12+n21)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表，問：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
利用時間充分 利用時間不充分 合計(jì)
走讀生 50 a
75
75
住校生 b 15
25
25
合計(jì)
60
60
 40 n
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：

P（K2≥k0）		 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k0		 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省五校聯(lián)盟高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：
利用時間充分利用時間不充分總計(jì)
走讀生502575
住宿生101525
總計(jì)6040100
是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
參考公式：
參考列表：
P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.025
k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年湖北省襄陽市高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表，問：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
利用時間充分利用時間不充分合計(jì)
走讀生50a______
住校生b15______
合計(jì)______40n
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
參考公式：
參考列表：

P（K2≥k）		0.500.400.250.150.100.050.025

k		0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024


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同步練習(xí)冊答案