【題目】已知a,b,c,d都是實數(shù),且a2+b2=1,c2+d2=4, 求證:|ac+bd|≤2.
【答案】證明:證法一:要證|ac+bd|≤2成立, 只要證(ac+bd)2≤4即可,
只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即可,
即證2acbd≤a2d2+b2c2 ,
即證(ad﹣bc)2≥0,
由題知a,b,c,d都是實數(shù),(ad﹣bc)2≥0顯然成立.
故|ac+bd|≤2.
證法二:(ac+bd)2﹣4=(ac+bd)2﹣(a2+b2)(c2+d2)
=2acbd﹣a2d2﹣b2c2=﹣(ad﹣bc)2 ,
由題知a,b,c,d都是實數(shù),(ad﹣bc)2≥0,
即ac+bd)2﹣4≤0,
故|ac+bd|≤2.
證法三:設(shè)a=cosα,b=sinα,c=2cosβ,d=2sinβ(α,β∈R),
則|ac+bd|=|2cosαcosβ+2sinαsinβ|
=2|cosαcosβ+sinαsinβ|=2|cos(α﹣β)|≤2,
故|ac+bd|≤2
【解析】方法一、運用分析法證明,可通過兩邊平方,完全平方公式即可得證;方法二、運用作差比較法,結(jié)婚條件和配方即可得證;方法三、運用三角換元法,可令a=cosα,b=sinα,c=2cosβ,d=2sinβ(α,β∈R),運用兩角差的余弦公式,以及余弦函數(shù)的值域即可得證.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解不等式的證明的相關(guān)知識,掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學歸納法等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若AB,AC,B={0,1,2,3,4,5,6},C={0,2,4,6,8,10},則這樣的A的個數(shù)為( )
A.4
B.15
C.16
D.32
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”,現(xiàn)從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取3個數(shù)字,組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù),其中“傘數(shù)”共有個.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7},求:
(1)A∩B;
(2)(UA)∪B;
(3)A∩(UB).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】集合A={﹣1,0},B={0,1},C={1,2},則(A∩B)∪C等于( )
A.
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{﹣1,0,1,2}
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