Question

過(guò)點(diǎn)P（1，

3

）作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則弦長(zhǎng)|AB|=（　�。�

• A、

  3

• B、2
• C、

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，確定出|OA|與|OB|的長(zhǎng)，由切線的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，且切線長(zhǎng)相等，由P與O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|OP|的長(zhǎng)，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的長(zhǎng)，同時(shí)得到∠APO=30°，確定出三角形APB為等邊三角形，由等邊三角形的邊長(zhǎng)相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的長(zhǎng)．

解答： 解：由圓的方程x²+y²=1，得到圓心O（0，0），半徑r=1，
∴|OA|=|OB|=1，
∵PA、PB分別為圓的切線，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP為∠APB的平分線，
∵P（1，

3

），O（0，0），
∴|OP|=2，
在Rt△AOP中，根據(jù)勾股定理得：|AP|=

4-1

=

3

，
∵|OA|=

1

2

|OP|，∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴|AB|=|AP|=

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小關(guān)系確定，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交（d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑）．