Question

如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求圓的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在滿足條件的圓，其方程為.

試題分析：（1）由題設(shè)知其中
由,結(jié)合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)；設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)為由圓的對(duì)稱性可知，利用在圓上及確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的方程.
解：（1）設(shè)，其中，
由得
從而故.
從而，由得，因此.
所以，故
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）如圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個(gè)交點(diǎn)，，,是圓的切線，且由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知
，
由（1）知，所以，再由得，由橢圓方程得，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)時(shí)，過分別與,垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心，設(shè)
由得而故
圓的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：