【題目】一個幾何體的三視圖如下圖所示,其中主視圖與左視圖是腰長為6的等腰直角三角形,俯視圖是正方形.
(Ⅰ)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;
(Ⅱ)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1? 如何組拼?試證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)直觀圖見解析,;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)體積是;(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的倍,故用個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為的正方體;(Ⅲ)平面與平面所成二面角的余弦值=.
試題解析:本題的構(gòu)圖方式是通過三視圖來給出,并且更為重視對空間幾何體的認識.
(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面是邊長為6的正方形,高PD=6,故所求體積是.
(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的倍,故用個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為的正方體,即由四棱錐組成。其拼法如圖2所示.
(Ⅲ)因的邊長,,所以,而,所以平面與平面所成二面角的余弦值為.
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【題目】(本小題滿分12分)
已知O為坐標原點,向量,點P滿足.
(Ⅰ)記函數(shù)·,求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)若O,P,C三點共線,求的值.
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【題目】下列命題中不正確命題的個數(shù)是( )
①過空間任意一點有且僅有一個平面與已知平面垂直
②過空間任意一條直線有且僅有一個平面與已知平面垂直
③過空間任意一點有且僅有一個平面與已知的兩條異面直線平行
④過空間任意一點有且僅有一條直線與已知平面垂直
A.1 B.2
C.3 D.4
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【題目】已知函數(shù), .
(1)證明: ;
(2)根據(jù)(1)證明: .
(B)已知函數(shù), .
(1)用分析法證明: ;
(2)證明: .
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,是否存在整數(shù),使不等式恒成立?若存在,求整數(shù)的值;若不存在,則說明理由;
(3)關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1) 判別函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的判斷正確;
(3) 求關(guān)于x的不等式f(1-x2)+f(2x+2)<0的解集.
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【題目】如圖,四邊形為矩形, 平面, .
(1)求證: ;
(2)若直線平面,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若, ,求三棱錐的體積.
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【題目】已知點是橢圓上任意一點,點到直線:的距離為,到點的距離為,且,直線與橢圓交于不同兩點、(、都在軸上方),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當為橢圓與軸正半軸的交點時,求直線方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點,無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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