Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₁+a₃+a₅=12．，且a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=

an2+1

an2-1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n-n＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a₃=4，a52=a1a17，從而（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由bn=

an2+1

an2-1

=

(n+1)2+1

(n+1)2-1

=1+

2

(n+1)2-1

=1+

2

n(n+2)

，由此利用裂項(xiàng)法能證明S_n-n＜

3

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁+a₃+a₅=12，∴3a₃=12，∴a₃=4．…（2分）
∵a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列，∴a52=a1a17，
∴（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），
∵d≠0，解得d=1，…（4分）
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=n+1，n∈N*．…（5分）
（Ⅱ）證明：∵bn=

an2+1

an2-1

=

(n+1)2+1

(n+1)2-1

=1+

2

(n+1)2-1

=1+

2

n(n+2)

，…（7分）
∴Sn=(1+

2

1×3

)+(1+

2

2×4

)+…+(1+

2

n(n+2)

)
=n+

2

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)
=n+1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，…（11分）
∴S_n-n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用．