【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x.
(1)若a= ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈[1,+∞)時恒有f(x)≤a﹣1,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a= 時,f(x)=xlnx﹣ x2,x>0.
f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx﹣x,
令g(x)=1+lnx﹣x,g′(x)= ﹣1,
當(dāng)x>1時,g′(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,g(x)遞增.
即有g(shù)(x)在x=1處取得極大值,且為最大值0.
則g(x)≤0,即1+lnx﹣x≤0,
即f′(x)≤0,則f(x)在(0,+∞)遞減.
綜上可得,f(x)的減區(qū)間為(0,+∞),無增區(qū)間
(2)解:當(dāng)x≥1時,f(x)≤a﹣1,
即為xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x≤a﹣1,
當(dāng)x=1時,上式顯然成立.
當(dāng)x>1時,可得a≥ .
由 ﹣1= ,
設(shè)g(x)=xlnx﹣(x﹣1)﹣(x﹣1)2(x>1),
g′(x)=1+lnx﹣1﹣2(x﹣1)=lnx﹣2(x﹣1),
由g″(x)= ﹣2<0在x>1恒成立,
可得g′(x)在(1,+∞)遞減,可得g′(x)<g′(1)=0,
即g(x)在(1,+∞)遞減,可得g(x)<g(1)=0,
則 <1成立,
即有a≥1.
即a的范圍是[1,+∞).
【解析】(1)求得f(x)的解析式,求出導(dǎo)數(shù),令g(x)=1+lnx﹣x,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間和最大值,即可得到f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x≥1時,f(x)≤a﹣1,即為xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x≤a﹣1,討論x=1和x>1,由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx﹣(x﹣1)﹣(x﹣1)2(x>1),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,即可判斷g(x)的單調(diào)性,可得a的范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為,分別有五個級別:,暢通;,基本暢通;,輕度擁堵;,中度擁堵;,嚴(yán)重擁堵.在晚高峰時段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段的個數(shù);
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段中共抽取6個路段,求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);
(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個,求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某銷售公司擬招聘一名產(chǎn)品推銷員,有如下兩種工資方案:
方案一:每月底薪2000元,每銷售一件產(chǎn)品提成15元;
方案二:每月底薪3500元,月銷售量不超過300件,沒有提成,超過300件的部分每件提成30元.
(1)分別寫出兩種方案中推銷員的月工資(單位:元)與月銷售產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從該銷售公司隨機選取一名推銷員,對他(或她)過去兩年的銷售情況進行統(tǒng)計,得到如下統(tǒng)計表:
月銷售產(chǎn)品件數(shù) | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
次數(shù) | 2 | 4 | 9 | 5 | 4 |
把頻率視為概率,分別求兩種方案推銷員的月工資超過11090元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取容量為的學(xué)生成績樣本,得頻率分布表如下:
組號 | 分組 | 頻率 | 頻數(shù) |
第一組 | |||
第二組 | ① | ||
第三組 | ② | ||
第四組 | |||
第五組 | |||
合計 |
(1)寫出表中①、②位置的數(shù)據(jù);
(2)估計成績不低于分的學(xué)生約占多少;
(3)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取名學(xué)生進行第二輪考核,分別求第三、四、五各組參加考核的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明: 為偶函數(shù);
(2)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求實數(shù)的取值范圍,使在上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,E為的中點,將沿翻折到的位置,平面,為的中點,則在翻折過程中,下列結(jié)論正確的是( )
A.恒有 平面
B.B與M兩點間距離恒為定值
C.三棱錐的體積的最大值為
D.存在某個位置,使得平面⊥平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+1.
(Ⅰ)證明:當(dāng)x>0時,f(x)≤x;
(Ⅱ)設(shè) ,若g(x)≥0對x>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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