Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等邊三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC₁上的點(diǎn)．
（1）若F是棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，求證：AE⊥平面A₁FB；
（2）當(dāng)V_E-ABF=9

3

時(shí)，求正方形AA₁C₁C的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)為M，連接EF，EM，CM，由已知條件推導(dǎo)出四邊形EMCF是平行四邊形，由AE⊥A₁B，AE⊥A₁B，能證明AE⊥平面A₁FB．
（Ⅱ）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長為x，由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)F到平面EAB的距離即為點(diǎn)C到平面平面AA₁B的距離，由V_E-EABF=V_F-ABE，利用等積法能求出正方形的邊長．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)為M，連接EF，EM，CM，
∵E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC₁中點(diǎn)，
∴EM∥AA₁，F(xiàn)C∥AA₁，EM=FC=

1

2

AA1，
則四邊形EMCF是平行四邊形，∴EF∥CM，
又∵△ABC為正三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，
∴AA₁=AB，∴AE⊥A₁B，CM⊥AB，
∵側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，∴CM⊥AA₁，∴CM⊥平面A₁AB，
∴EF⊥平面A₁AB，∴EF⊥AE，
又∵AE⊥A₁B，A₁B∩EF=E，∴AE⊥平面A₁FB．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長為x，
由于E是A₁B的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，∴點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值，
即為點(diǎn)C到平面平面AA₁B的距離，
又V_E-EABF=V_F-ABE，且V_F-ABE=

1

3

S△ABE•h=9

3

．
即

1

3

•

1

2

•x•

3

2

x=9

3

，解得x³=216，即x=6．
∴正方形的邊長為6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查正方形的邊長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．