Question

在四棱錐P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC的中點．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDM
（Ⅱ）若PD=

2

，求點C到平面BDM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結AC，設AC與BD交于O點，連結MO，易證MO為△PAC的中位線，從而OM∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDM；
（Ⅱ）利用等體積轉換，即可求點C到平面BDM的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連結AC，設AC與BD交于O點，連結MO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O為AC的中點，又M為PC的中點，
∴OM∥PA，
∵OM?平面BDE，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．…（6分）
（Ⅱ）解：設點C到平面BDM的距離為h，PD=DA=2，則
△BDM中，BD=2

2

，DM=

2

，BM=

6

，
∴∠DMB=90°，
∴S_△BDM=

1

2

•

2

•

6

=

3

，
由V_M-BDC=V_C-BDM，可得

1

3

•

1

2

•2•2•1=

1

3

•

3

h，
∴h=

2 3

3

．
即點C到平面BDM的距離為

2 3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查點C到平面BDM的距離，考查推理證明的能力，屬于中檔題．