Question

（2012•安徽模擬）已知函數f（x）=alnx+x（a為實常數）
（1）若a=-1，求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入函數f（x）=alnx+x，然后對其進行求導，利用導數研究函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）已知直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，根據導數與直線斜率的關系可得切點坐標，從而求出a值；

解答：解：（1）當a=-1代入可得f（x）=alnx+x=-lnx+x，（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+1=

x-1

x

，
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間為：[0，1]；
（2）設切點為（x₀，2x₀-1），f′（x）=1+

a

x

，
直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，
∴1+

a

x0

=2，
∴x₀=a，
又2x₀-1=alnx₀+x₀，可得alna-a+1=0，
設y=xlnx-x+1得y′=lnx，
當x＞1時，y′＞0，
y=xlnx-x+1單調遞增，
∴0＜x＜1時，y′＜0，y為單調遞減，
y=xlnx-x+1有唯一的零點x=1，
得a=1；

點評：此題主要考查利用導數研究切線的方程，以及單調區(qū)間，是一道基礎題，比較簡單；