Question

19．橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=a²（a＞0）和連接A（1，1），B（3，4）兩點的線段沒有公共點，那么a的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\sqrt{17}$，+∞）．

Answer 1

分析 因為橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=a²（a＞0）和連接A（1，1）、B（3，4）兩點的線段沒有公共點，所以A、B都在橢圓內(nèi)或A、B都在橢圓外，可得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組就可求出a的取值范圍．

解答 解：∵橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=a²（a＞0）和連接A（1，1）、B（3，4）兩點的線段沒有公共點，
∴A、B都在橢圓內(nèi)或A、B都在橢圓外，
當(dāng)點A、B都在橢圓內(nèi)，則$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{2}＜{a}^{2}}\\{9+\frac{16}{2}＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得a＞$\sqrt{17}$；
當(dāng)點A、B都在橢圓外，則$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{2}＞{a}^{2}}\\{9+\frac{16}{2}＞{a}^{2}}\end{array}\right.$解得0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\sqrt{17}$，+∞）．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\sqrt{17}$，+∞）．

點評 本題主要考查直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，以及由此求參數(shù)的取值范圍，考查運算能力，屬于中檔題．