Question

4．如圖所示數(shù)陣，記a_n為數(shù)字n的個(gè)數(shù)，記A_n為a_n個(gè)數(shù)字n的和．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$，B_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且B_n＜t恒成立．
（1）a_n=2n-1；A_n=2n²-n；
（2）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1（t＞0）．P為C的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l斜率為t．直線l過定點(diǎn)M，且與C交于另一點(diǎn)N．若PN的中點(diǎn)為E，求$\frac{EP}{MP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知?dú)w納可得a_n=2n-1，則A_n=a_n•n=2n²-n；
（2）由（1）可得b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用裂項(xiàng)相消法可得B_n=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而可得t≥$\frac{3}{8}$，求出$\frac{EP}{MP}$的表達(dá)式，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）由a_n為數(shù)字n的個(gè)數(shù)，
可得：a₁=1，
a₂=3，
a₃=5，
a₄=7，
…
歸納可得：a_n=2n-1，
則A_n=a_n•n=2n²-n；
故答案為：2n-1，2n²-n；
（2）∵b_n=$\frac{1}{{A}_{n}+5n}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴B_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$），
若B_n＜t恒成立，則t≥$\frac{3}{8}$，
∵P為C的下頂點(diǎn)，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-t），
過點(diǎn)P的直線l斜率為t直線l方程為：y=tx-t，
則l過定點(diǎn)M（1，0），且與C交于另一點(diǎn)N．
將y=tx-t代入$\frac{{x}^{2}}{2{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{t}^{2}}$=1得：（1+$\frac{1}{2{t}^{2}}$）x²-2x=0
則N點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
故PN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
若PN的中點(diǎn)為E，則EP=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\frac{2{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$，
MP=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
∴$\frac{EP}{MP}$=$\frac{2{t}^{2}}{2{t}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{2{t}^{2}+1}$≥$\frac{9}{41}$，
又由$\frac{EP}{MP}$＜1，
可得：$\frac{EP}{MP}$∈[$\frac{9}{41}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，數(shù)列求和，直線與圓錐曲線的關(guān)系，函數(shù)的值域，綜合性可，難度較大．