Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BE⊥CD；
（3）求三棱錐P-ACD的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證BE∥平面PAD，可先構(gòu)建平面EBM，證明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到線面平行；
（2）取PD的中點(diǎn)F，連接FE，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，及等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）利用V_P-ACD=V_C-PAD，即可求三棱錐P-ACD的體積V．

解答： （1）證明：取CD的中點(diǎn)M，連接EM、BM，則四邊形ABMD為矩形
∴EM∥PD，BM∥AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD；
而BE?平面EBM，
∴BE∥平面PAD；…（4分）
（2）證明：取PD的中點(diǎn)F，連接FE，則FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC，
∴CD⊥BE；…（10分）
（3）解：由（2）知∴CD⊥平面PAD，
∵△PAD是邊長為1的等邊三角形，
∴V_P-ACD=V_C-PAD=

1

3

×

1

2

×1×1×sin

π

3

×2=

3

6

∴三棱錐P-ACD的體積為

3

6

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查三棱錐P-ACD的體積，熟練掌握線面平行及線面垂直的判定定理是解答的關(guān)鍵．