已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為e=
2
2
,左、右焦點分別為F1、F2,點P的坐標為(2,
3
),且F2在線段PF1的中垂線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)如果圓E:(x-
1
2
2+y2=r2上的所有點都不在橢圓C的外部,求圓E的半徑r的最大值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件得
c
a
=
2
2
,(2c)2=(
3
2+(2-c)2,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設P(x0,y0)是橢圓C上任意一點,則
x02
2
+y02=1
,|PE|=
(x0-
1
2
)2+y02
,由此利用兩點間距離公式能求出半徑r的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)橢圓C的離心率e=
2
2
,得:
c
a
=
2
2
,…(1分)
其中c=
a2-b2
,橢圓C的左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
又點F1在線段PF1的中垂線上,
∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=(
3
2+(2-c)2,…(3分)
解得c=1,a2=2,b2=1,
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
. …(6分)
(Ⅱ)設P(x0,y0)是橢圓C上任意一點,
x02
2
+y02=1
,|PE|=
(x0-
1
2
)2+y02
,
y02=1-
x02
2
,…(8分)
∴|PE|=
(x0-
1
2
)2+1-
x02
2
=
1
2
x02-x0+
5
4
,(-
2
x0
2
).
當x0=1時,|PE|min=
1
2
-1+
5
4
=
3
2
,
∴半徑r的最大值為
3
2
.…(12分)
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查半徑的最大值的求法,解題時要認真審題,注意兩點間距離公式的合理運用.
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1
1-x
,兩邊同時積分得:
1
2
0
ldx+
1
2
0
xdx+
1
2
0
x2dx+…+
1
2
0
xndx+…=
1
2
0
1
1-x
dx,從而得到如下等式:1×
1
2
+
1
2
×
1
2
2+
1
3
×(
1
2
3+…+
1
n+1
×(
1
2
n+1+…=ln2,請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:C
 
0
n
×
1
2
+
1
2
C
 
1
n
×(
1
2
2+
1
3
C
2
n
×(
1
2
3+…+
1
n+1
C
n
n
×(
1
2
n+1=
 

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CP
CQ
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