Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，則a₁₀₁-a₁₀₀的值為9.3326215443944×10¹⁵⁷．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，由此利用累乘法能求出a_n，從而能求出a₁₀₁-a₁₀₀的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1$，
∴{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×1×2×…×（n-1）=（n-1）!．
∴a₁₀₁-a₁₀₀=100!-99!=100×99！=9.3326215443944×10¹⁵⁷．
故答案為：9.3326215443944×10¹⁵⁷．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的第101項(xiàng)和第100項(xiàng)的差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．