Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦點F到左準線l的距離為3．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和準線方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）討論直線AB的斜率不存在和存在，設出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，解得c=1，a=$\sqrt{2}$，
則b=1，即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）當AB⊥x軸，AB=$\sqrt{2}$，CP=3，不合題意；
當AB與x軸不垂直，設直線AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將AB方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
則C（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），且|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
若k=0，則AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意；
則k≠0，故PC：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），P（-2，$\frac{2+5{k}^{2}}{k（1+2{k}^{2}）}$），
從而|PC|=$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$，
由|PC|=2|AB|，可得$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，解得k=±1，
此時AB的方程為y=x-1或y=-x+1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查兩直線垂直和中點坐標公式的運用，屬于中檔題．