Question

4．定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)一切x∈（-∞，0]恒滿足′（x）≥0，若不等式f（m•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在（-∞，0]遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）在R上遞增，原不等式即為f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），即有m•3^x＜9^x-3^x+2，令t=3^x（t＞0），轉(zhuǎn)化為t的不等式，運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：對(duì)一切x∈（-∞，0]恒滿足f′（x）≥0，
即有f（x）在（-∞，0]遞增，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）在R上遞增，
f（m•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，即為
f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
即有m•3^x＜9^x-3^x+2，
令t=3^x（t＞0），即有mt＜t²-t+2，
則m＜t+$\frac{2}{t}$-1的最小值，由t+$\frac{2}{t}$-1≥2$\sqrt{2}$-1．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值．
則m＜2$\sqrt{2}$-1．即m的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求最值，屬于中檔題．