Question

2013年4月14日，CCTV財經(jīng)頻道報道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大學(xué)實驗室隨機抽取了60個樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

	混凝土耐久性達(dá)標(biāo)	混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)	總計
使用淡化海砂	25	t	30
使用未經(jīng)淡化海砂	s	15	30
總計	40	20	60

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出s，t的值，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？
（Ⅱ）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，現(xiàn)從這6個樣本中任取2個，則取出的2個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？
參考數(shù)據(jù)：

P（k2≥k）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

參考公式：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算出s，t，k²，對性別與喜愛運動有關(guān)的程度進(jìn)行判斷，
（Ⅱ）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件共有15種結(jié)果，設(shè)“取出的2個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件A，它的對立事件

.

A

為“取出的2個樣本至少有一個混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”，根據(jù)概率公式得到對立事件的概率，最后根據(jù)對立事件的概率公式得出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）s=40-25=15，t=30-25=5                      …（2分）
假設(shè)：是否使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：
K²=

60×(25×15-15×5)2

30×30×40×20

≈7.5＞6.635
因此，能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)．…（6分）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的為

25

30

×6=5，“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的為1．
“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的記為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的記為B．
從這6個樣本中任取2個，共有15可能，
設(shè)“取出的2個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件A，
它的對立事件

.

A

為“取出的2個樣本至少有一個混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”，包含（A₁，B），（A₂，B），
（A₃，B），（A₄，B），（A₅，B）共5種可能，
所以P（A）=1-P（

.

A

）=

2

3

．
則取出的2個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是

2

3

．…（12分）

點評：本題把概率的求法，列聯(lián)表，獨立性檢驗等知識有機的結(jié)合在一起，是一道綜合性題目，但題目難度不大，符合新課標(biāo)對本部分的要求，是道好題．