Question

一單位正方體形積木，平放在桌面上，在其上放置5個(gè)小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底的四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點(diǎn)，則6個(gè)正方體暴露在外面部分的面積和為

71

8

．

Answer 1

分析：由已知中一單位正方體形積木，平放在桌面上，在其上放置5個(gè)小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底的四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點(diǎn)，我們易得相鄰兩個(gè)正方體中，上邊一個(gè)正方體的側(cè)面積為下邊一個(gè)正方體的側(cè)面積的一半，進(jìn)而得到各個(gè)正方體的側(cè)面積組成一個(gè)以4首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此求出各側(cè)面的和，加上頂面暴露在外面部分的面積和為1，累加后即可得到答案．

解答：解：最下邊正方體的側(cè)面積為4×1=4
從下邊數(shù)第二個(gè)正方體的側(cè)面積為4×

1

2

=2
從下邊數(shù)第三個(gè)正方體的側(cè)面積為4×

1

4

=1
…
即相鄰兩個(gè)正方體中，上邊一個(gè)正方體的側(cè)面積為下邊一個(gè)正方體的側(cè)面積的一半．
各個(gè)正方體的側(cè)面積組成一個(gè)以4首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
故Sn=

4[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

當(dāng)n=6時(shí)
S₆=

4[1-( 1 2 )6]

1- 1 2

=

63

8

而除側(cè)面外其它面的和為1，
故6個(gè)正方體暴露在外面部分的面積和為

63

8

+1=

71

8

故答案為：

71

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．解答時(shí)易忽略6個(gè)正方體暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而錯(cuò)解為

63

8

或

79

8

．