Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx-1（ω＞0）的圖象上的一個最低點為P，離P最近的兩個最高點分別為M、N，且

PM

•

PN

=16-

π2

16

．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（

A

2

）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個角的正弦函數(shù)，根據題意設出P（x₀，-2），M（x₀-

T

2

，2），N（x₀+

T

2

，2），利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知等式左邊，求出T的值，即可確定出ω的值；
（2）由（1）確定出的f（x），根據f（

A

2

）=1求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關系式，將a，cosA，b+c的值代入求出bc的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
令P（x₀，-2），M（x₀-

T

2

，2），N（x₀+

T

2

，2），
∴

PM

•

PN

=-

T2

4

+16=16-

π2

16

，
∴T=

π

2

=

2π

2ω

，
則ω=2；
（2）∵f（

A

2

）=2sin（2A+

π

6

）=1，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
又a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∵b+c=4，
∴bc=4，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．