Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解； 命題q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0．
（1）寫出?q；        
（2）若p且q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,命題的否定

專題：簡易邏輯

分析：（1）首先，命題p為特稱命題，其否定為全稱命題，直接結(jié)合含有一個量詞的否定進(jìn)行處理即可；
（2）先判斷所給命題的真假，然后，根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題的真假判斷方法進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵命題q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0，
∴￢q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1＜0．
（2）∵p且q為真，
∴p和q都為真，
∴命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解為真命題，
則a∈（0，1），①
∵命題q：?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0．
∴設(shè)t=sinx，則t∈[

2

2

，1]，
∴a≥

1

t

-t，
∵y=

1

t

-t為減函數(shù)，
所以當(dāng)t=

2

2

時，y=

1

t

-t取得最大值為

2

2

，
∴a≥

2

2

，②
結(jié)合①②，得
a∈[

2

2

，1）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了簡單命題的真假判斷，復(fù)合命題的真值表應(yīng)用，注意“且”的含義，理解全稱命題和特稱命題的否定方式和方法，屬于中檔題．