Question

【題目】已知定義在上的函數(shù).

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，在上有三個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)可得,,分，,三種情況討論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間即可;

令,把函數(shù)在上有三個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在上有三個不同的交點，通過對函數(shù)進行求導(dǎo)判斷其單調(diào)性并求極值,得到關(guān)于的不等式,解不等式即可.

由題意知,，

令得或，

當(dāng)時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時由，得或；由，得；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

當(dāng)時由，得或；由，得；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

綜上可知,當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

令，則，

則，令，解得，

當(dāng)時,；當(dāng)或時,，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時,函數(shù)有極大值為，

當(dāng)時,函數(shù)有極小值為，

使函數(shù)在上有三個零點，

即直線和函數(shù)有三個不同的交點，

由單調(diào)性，只需滿足，

即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是.