Question

15．已知A（2，0），B（0，3），記圓心在原點，半徑為r的圓為圓C，對于線段AB上的任意一點D，若在圓C上都存在不同的兩點E，F(xiàn)，使得點E是線段DF的中點，則r的取值范圍是（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．

Answer 1

分析 設(shè)出F、D的坐標(biāo)，可得E的坐標(biāo)，代入圓的方程，可得以（0，0）為圓心，r為半徑的圓，與以（-2m，-2n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，由此求得⊙C的半徑r的取值范圍．

解答 解：設(shè)D（m，n）（0≤m≤2），F(xiàn)（x，y）．
因為點E是線段DF的中點，所以E（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又E，F(xiàn)都在半徑為r的圓C上，所以x²+y²=r²，（$\frac{m+x}{2}$）²+（$\frac{n+y}{2}$）²=r²，
因為上式是關(guān)于x，y的方程組有解，
即以（0，0）為圓心，r為半徑的圓，與以（-2m，-2n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，
所以（2r-r）²＜（2m）²+（2n）²＜（r+2r）²，
又線段AB的方程為3x+2y-6=0，所以3m+2n-6=0（0≤m≤2）
所以r²＜13m²-36m+36＜9r²對任意m∈[0，2]成立．
而f（m）=13m²-36m+36在[0，2]上的值域為[$\frac{144}{13}$，36]，
又線段AB與圓C無公共點，
所以m²+（3-$\frac{3}{2}$m）²＞r²對任意m∈[0，2]成立，即r²＜$\frac{144}{13}$．
13m²-36m+36＜9r²對任意m∈[0，2]成立，則有r²＞4，
故圓C的半徑r的取值范圍為（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．
故答案為：（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．