Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小周期和單調增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f（A）=1，b=

2

，c=3，求a值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由周期公式可得T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數f（x）的單調增區(qū)間．
（Ⅱ）由銳角A滿足f（A）=1，則有

2

sin（2A-

π

4

）=1，可解得A，由余弦定理可得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=

2

sin（2x-

π

4

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間是：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵銳角A滿足f（A）=1，則有

2

sin（2A-

π

4

）=1，
∴可解得：2A-

π

4

=2kπ+

π

4

，k∈Z，從而解得：A=

π

4

．
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=2+9-3

6

=11-3

6

．
∴a=

11-3 6

．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，考查了余弦定理的應用，屬于基本知識的考查．