已知O是△ABC所在平面內一點，且|
OC
|2+|
AB
|2=|
OB
|2+|
.
AC
|2=|
OA
|2+|
BC
|2，則O是△ABC的（　　）
A、內心B、垂心C、外心D、重心
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：根據(jù)向量的減法分別用
OA
，
OB
，
OC
表示
BC
，
CA
，
AB
利用數(shù)量積運算和題意代入式子進行化簡，證出OA⊥BC，同理可得OB⊥AC，OC⊥AB，即證出O是△ABC的垂心．
解答： 解：設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，則
BC
=
c
-
a
，
CA
=
a
-
c
，
AB
=
b
-
a
．
由|
OC
|2+|
AB
|2=|
OB
|2+|
.
AC
|2=|
OA
|2+|
BC
|2，
∴|
c
|2+|
b
-
a
|2=|
b
|2+|
c
-
a
|2，化簡可得
a
•
b
=
a
•
c
，即（
b
-
c
）•
a
=0，
∴
OA
•
BC
=0∴
BC
⊥
OA
，即OA⊥BC．
同理可得OB⊥AC，OC⊥AB．
∴O是△ABC的垂心．
故選B．
點評：本題考查了向量在幾何中應用，主要利用向量的線性運算以及數(shù)量積進行化簡證明，證明垂直主要根據(jù)題意構造向量利用數(shù)量積為零進行證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小周期和單調增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f（A）=1，b=
2
，c=3，求a值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

P是橢圓上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點，∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，則橢圓的焦距與長軸長之比為（　　）
A、
6
3
B、
2
2
C、
3
2
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）函數(shù)滿足：①f（4）=1；②對任意x＞2均有f（x）＞0；③對任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy-x-y+2）．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)k，使得f（sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k）＜2對任意的θ∈[0，π]恒成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A=
2-1
-33
，f（x）=x2-5x+3，E為兩階單位陣，定義f（A）=A2-5A+3E，則f（A）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=3，|
b
|=5，
a
與
b
的夾角為120°．
試求：（1）
a
2-
b
2；
（2）|2
a
+
b
|；
（3）(
a
-
b
)•(3
a
+
b
)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=12，|
b
|=9，
a
•
b
=-54
2
，則
a
與
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，若AB=AC，則
AB
BC
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an-12，則a6等（　　）
A、16
B、4
C、2
2
D、45

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