Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x-1）．
（1）設(shè)g（x）=f（x）+a，若函數(shù)y=g（x）在（2，3）有且僅有一個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+

m

f(x)

，是否存在正實數(shù)m，使得函數(shù)y=h（x）在[3，9]內(nèi)的最大值為4．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用根的存在性定理求解．
（2）換元法，轉(zhuǎn)化為個h（t）=t+

m

t

，t∈[1，3]，利用單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）+a，f（x）=log₂（x-1）．
∴g（x）=log₂（x-1）+a，x∈（2，3）
∵g（x）是增函數(shù)，g（x）在（2，3）有且僅有一個零點(diǎn)，
∴g（2）×g（3）＜0，a．（a+1）＜0
即-1＜a＜0
實數(shù)a的取值范圍（-1，0）
（2）設(shè)h（x）=f（x）+

m

f(x)

，t=f（x）則設(shè)h（t）=t+

m

t

，t∈[1，3]，m＞0
當(dāng)

m

≤1時h（t），t∈[1，3]，為增函數(shù)，3+

m

3

=4，m=3，不符合題意；
當(dāng)

m

≥3時h（t），t∈[1，3]，為減函數(shù)，1+

m

1

=4，m=3，不符合題意；
當(dāng)1＜

m

＜3時最大值4只有在t=1，或t=3上取的，根據(jù)前面做的知m=3，符合題意，
所以存在m=3使函數(shù)y=h（x）在[3，9]內(nèi)的最大值為4

點(diǎn)評：本題考察了整體換元，根的存在性定理，對鉤函數(shù)單調(diào)性等問題，綜合性較大．