Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-alnx．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）試問：對某個實數(shù)m，方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上是否存在三個不相等的實根？若存在，請求出實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極小值．
（Ⅱ）假設(shè)方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上存在三個不相等的實根，設(shè)F（x）=2x²-alnx+cos2x-m，則F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x，x＞0有兩個不同的零點，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出a=4x²-2xsin2x，（x＞0）至多只有一個解，由此推導(dǎo)出方程不存在三個不相等的實根．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）定義域為（0，+∞），
由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，…（2分）
則當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=2．…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上存在三個不相等的實根，
設(shè)F（x）=2x²-alnx+cos2x-m，由于F（x）在x∈（0，+∞）上圖象連續(xù)不斷，
則F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x，x＞0有兩個不同的零點．…（8分）
即a=4x²-2xsin2x（x＞0）有兩個不同的解，
設(shè)G（x）=4x²-2xsin2x，（x＞0），
則G′（x）=8x-2sin2x-4xcos2x
=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
設(shè)h（x）=2x-sin2x，則h′（x）=2-2cos2x≥0，
故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則當x＞0時，h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，…（11分）
又1-cos2x＞0，則G′（x）＞0，故G（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則a=4x²-2xsin2x，（x＞0）至多只有一個解，
故不存在．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查滿足條件的方程是否存在三個根的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．