Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若，且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，確定的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，且對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）.

【解析】

（1）求得和后，即可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到所求的切線方程；

（2）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可確定，由此可得，分別在和兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）將恒成立的不等式化為，①當(dāng)時(shí)，由恒成立可知，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由時(shí)可知，滿足題意；由零點(diǎn)存在定理可驗(yàn)證出和時(shí)存在的區(qū)間，不滿足題意；綜合幾種情況可得最終結(jié)果.

（1）當(dāng)，時(shí)，，

則，，，

在處的切線方程為，即.

（2）當(dāng)時(shí)，，，

是的一個(gè)極值點(diǎn)，，，

，

令，解得：，，

是一個(gè)極值點(diǎn)，，即，

①當(dāng)，即時(shí)，

若和，；若，，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)，即時(shí)，

若和，；若，，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立.

令，

則，

，，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，

在上單調(diào)遞減，，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，

⑴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

，

i.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

，滿足題意；

ii.當(dāng)時(shí)，由，，

，使得，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；

⑵當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，

，使得，在上恒成立，

在上單調(diào)遞增，，

在上單調(diào)遞增，，不滿足題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.