Question

【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)到的距離是它到直線 （點(diǎn)在此直線右側(cè)）的距離的一半.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形.是否存在直線，使點(diǎn)落在橢圓或拋物線上？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在直線，使點(diǎn)落在拋物線上，存在直線，使點(diǎn)落在橢圓上，理由見解析.

【解析】

(1)由題意，則.設(shè)點(diǎn)是兩曲線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程得關(guān)于的方程，求得的值，即求橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合為平行四邊形，即，可得的坐標(biāo)，分別代入橢圓與拋物線方程，得到關(guān)于的方程，均無解；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知存在點(diǎn)在橢圓上，即得答案.

（1）由題意知，因而，即，

又兩曲線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)到的距離是它到直線的距離的一半，

即，

得，則，

代入到橢圓方程，得.

由，

解得，

所求橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為

由，

得，

設(shè)，

則，

由于為平行四邊形，得，

故，又，

可得.

若點(diǎn)在橢圓上，則，代入得，無解.

若點(diǎn)在拋物線上，則，代入得，無解.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)存在點(diǎn)在橢圓上.

故不存在直線，使點(diǎn)落在拋物線上，存在直線，使點(diǎn)落在橢圓上.