Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，求f（x）在[0，3]上的值域．
（Ⅱ）對任意的b，函數(shù)g（x）=|f（x）|﹣ 的零點不超過4個，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，f（x）= x3﹣2x2+3x，求導(dǎo)，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）， 當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，3）時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，
由f（0）=f（0）=0，f（1）= ，
∴f（x）在[0，3]上的值域為[0， ]；
（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，則△=4a2﹣12，
①當(dāng)△≤0，即a2≤3時，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增，滿足題意，
②當(dāng)△＞0，即a2＞3時，方程f′（x）=0有兩根，設(shè)兩根為x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 則x1+x2=2a，x1x2=3，
則f（x）在（﹣∞，x1），（x2 ， +∞）上單調(diào)遞增，
在（x1 ， x2）上單調(diào)遞減，
由題意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤ ，
∴丨 ﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤ ，
化簡得： （a2﹣3） ≤ ，解得：3＜a2≤4，
綜合①②，可得a2≤4，
解得：﹣2≤a≤2．
a的取值范圍[﹣2.2]．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，求得f（x），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，則△=4a2﹣12，根據(jù)△的取值范圍，利用韋達(dá)定理及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．