Question

【題目】過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1.

（1）求；

（2）記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為、、，求

Answer 1

【答案】（1）0；（2）4

【解析】

（1）先表示出F，的坐標(biāo)，再向量坐標(biāo)化，表示出的坐標(biāo)，聯(lián)立直線MN的方程和拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到結(jié)果；（2）分別表示出面積表達(dá)式，S=4(p|－|)=4× (+)||· (+)·||[(+)2－4]=[+ (+)+ ]·||，聯(lián)立直線和拋物線根據(jù)韋達(dá)定理得證即可.

.

（1）依題意，焦點(diǎn)為F(,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=－.

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為M(,)，N(,)，直線MN的方程為x=my+,則有M1(－,)，N1(－,)，=(－p,), =(－p,).

由

于是，+=2mp，=－.

∴·=+=－=0

（2）S=4成立，證明如下：

設(shè)M(,)，N(,)，

直線l與x軸的交點(diǎn)為，則由拋物線的定義得

|M M1|=|MF|=+, |N N1|=|NF|=+. 于是

=·|M M1|·| F1 M1|=(+)||，

=·| M1 N1|·|F F1|=p|－|，

=·|N N1|·| F1 N1|=(+)||，

∵S=4(p|－|)=4×(+)||·(+)·|| [(+)－4]=[+(+)+]·||.

將與代入上式化簡(jiǎn)可得 此式恒成立. 故=4.