【題目】如圖,四棱錐的側(cè)面是正三角形,底面是直角梯形,.
(1)求證:;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得,根據(jù)直角梯形以及中位線得,最后根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理證得結(jié)果;
(2)解法一,建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面一個(gè)法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果;
解法二,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,利用平行轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離,過點(diǎn)作,可證平面,再根據(jù)直角三角形求得結(jié)果.
(1)證明:取中點(diǎn),連,,
因?yàn)?/span>是正三角形,所以,
又是中點(diǎn),所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以,因?yàn)?/span>平面,
所以平面,
所以.
(2),又,所以,則,
又,所以平面,所以平面平面,
由定理可知平面,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),
則,,,,
設(shè)平面的法向量為,
可取,
又,
所以,.
即直線與平面所成角的正弦值為.
解法二:
,又,所以,則,
又,所以平面,所以平面平面,
平面平面,
由定理可知平面,不妨設(shè),
在中,,,所以.
設(shè)直線與平面所成角為,點(diǎn)到平面的距離為,
因?yàn)?/span>,平面,
所以平面,故點(diǎn)到平面的距離也為,
過點(diǎn)作,垂足為,由定理即知平面,
在中,,
所以,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了提高利潤,從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資,投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額(萬元) | |||||||
年利潤增長(萬元) |
(1)請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程;如果2019年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為萬元,估計(jì)該公司在該年的年利潤增長為多少?(結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)現(xiàn)從2012年—2018年這年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查,記年利潤增長投資金額,設(shè)這三年中(萬元)的年份數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列與期望.
參考公式:.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),是兩個(gè)不同的平面,則的必要不充分條件是( )
A.內(nèi)存在一條直線垂直于內(nèi)的兩條相交直線
B.平行于的一個(gè)平面與垂直
C.內(nèi)存在一條直線垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線
D.垂直于的一條直線與平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)給定自然數(shù)n≥2,求滿足下列條件的最大的N:無論怎樣將填人一個(gè)n×n的方格表,總存在同一行或同一列的兩個(gè)數(shù),它們的差不小于N。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則以下結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C.存在正實(shí)數(shù),使得成立
D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù),,且,若則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),.證明:
(1)把寫成無窮乘積有唯一的表達(dá)式其中,為正整數(shù),滿足;
(2)是有理數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它的無窮乘積具有下列性質(zhì):存在,對(duì)所有的,滿足
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對(duì)2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.
購買金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計(jì) | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合計(jì) |
(2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次,每次中獎(jiǎng)概率為(每次抽獎(jiǎng)互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎(jiǎng)1次減5元,中獎(jiǎng)2次減10元,中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn),請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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