【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),.證明:
(1)把寫成無窮乘積有唯一的表達(dá)式其中,為正整數(shù),滿足;
(2)是有理數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它的無窮乘積具有下列性質(zhì):存在,對(duì)所有的,滿足
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)用歸納法來構(gòu)造數(shù)列和比滿足對(duì)所有的.
取為滿足下列式子的最小的:.
因此,對(duì)于每個(gè),.
故 .
因?yàn)?/span>,,所以,.
從而,.
無窮乘積的唯一性可以由在上述遞推步驟中必須滿足式①得到.
事實(shí)上,若對(duì)于某一個(gè)有,則,.
于是,就不能收斂于1.
注意到,對(duì)于,有
.②
假設(shè)對(duì)于某些,有,則
,矛盾.
(2)由式②,知當(dāng)乘積按上述方式終止時(shí),是有理數(shù).
另一方面,設(shè)是有理數(shù),且.
下面證明:存在,使得.
若不然,則對(duì)于所有的有.
對(duì)每一個(gè),將寫成分?jǐn)?shù)的形式(不必是最簡(jiǎn)形式),其中,,,一般地,,,為正整數(shù).
為得到矛盾,只需證明數(shù)列是嚴(yán)格遞減的.
事實(shí)上,,
這是由于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,Q為四邊形的外接圓的圓心,平面,M在棱上,且.
(1)證明:平面.
(2)若與平面所成角為60°,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某國(guó)建了一座時(shí)間機(jī)器,形似一條圓形地鐵軌道,其上均勻設(shè)置了2014個(gè)站臺(tái)(編號(hào)依次為l,2,…,2014)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)年份,起始站及終點(diǎn)站均為第1站(對(duì)應(yīng)2014年).為節(jié)約成本,機(jī)器每次運(yùn)行一圈,只在其中一半的站臺(tái)?,出于技術(shù)原因,每次至多行駛?cè)颈仨毻?恳淮,且所停靠的任兩個(gè)站臺(tái)不能是圓形軌道的對(duì)徑點(diǎn).試求不同的?糠绞降姆N數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,且,,,,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).為線段的中點(diǎn).
(1)若⊥于且,證明:平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
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【題目】給出下列命題,其中正確命題有( )
A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底
B.已知向量,則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.是空間四點(diǎn),若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么共面
D.已知向量組是空間的一個(gè)基底,若,則也是空間的一個(gè)基底
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放40年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).
安全意識(shí)強(qiáng) | 安全意識(shí)不強(qiáng) | 合計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
合計(jì) |
(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.
附:,其中
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
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