Question

10．設(shè)A為4×3階矩陣，且r（A）=2，而B=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\\{-1}&{0}&{3}\end{array}]$，則r（AB）=2．

Answer 1

分析 由已知得B為可逆矩陣，即B為滿秩矩陣．當(dāng)一個(gè)矩陣與一個(gè)滿秩矩陣相乘時(shí)，所得的矩陣的秩與原矩陣相等．

解答 解：∵B=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\\{-1}&{0}&{3}\end{array}]$，
∴|B|=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\\{-1}&{0}&{3}\end{array}]$=6+4=10≠0，
∴B=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\\{-1}&{0}&{3}\end{array}]$是滿秩矩陣，
∵A為4×3階矩陣，且r（A）=2，
∴r（AB）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查AB的秩的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要注意矩陣的秩的性質(zhì)的合理運(yùn)用．