Question

下列命題中：
①若函數(shù)f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若f（x）是定義域為R的函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（-x）=f（2+x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R的都有f（x+1）=f（-x+1）則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①可通過函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷；
②由函數(shù)的對稱性，注意結(jié)論：若函數(shù)f（x）滿足f（2a+x）=f（-x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，
應(yīng)用它即可判斷；
③注意函數(shù)的單調(diào)性的定義中x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意兩個自變量，即可判斷；
④由奇函數(shù)的定義，得到f（-x）=-f（x），又f（x+1）=f（-x+1），得到f（-x）=f（2+x），即f（x+2）=-f（x），
再將x換成x+2，即可判斷．

解答： 解：①由于函數(shù)f（x）的定義域為R，g（x）=f（x）+f（-x），則g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），
則g（x）是偶函數(shù)，故①對；
②由于f（x）是定義域為R的函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（-x）=f（2+x），
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故②對；
③若x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意兩個值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）是減函數(shù)，故③錯；
④由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R的都有f（x+1）=f（-x+1），
則f（-x）=f（2+x），又f（-x）=-f（x），即有f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．故④對．
故答案為：①②④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和對稱性、周期性及奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．