Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

x+1

1+|x-1|

給出如下結(jié)論：①f（x）是非奇非偶函數(shù)；②f（x）的最大值是2，最小值是-1；③若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)奇（偶）函數(shù)的定義證明；②利用x的范圍對(duì)解析式化簡(jiǎn)，表示為分段函數(shù)再分類討論，利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式，判斷出各個(gè)范圍上的單調(diào)性和最值，并求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的范圍，再判斷即可；③根據(jù)②得到的結(jié)論進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①函數(shù)的定義域是R，f(-x)=

-x+1

1+|-x-1|

=

-x+1

1+|x+1|

≠±f（x），
則f（x）是非奇非偶函數(shù)，①正確；
②由題意得f(x)=

x+1 x ，(x≥1) x+1 2-x ，(x＜1)

，
當(dāng)x≥1時(shí)，y=

x+1

x

=1+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最大值是2，且f（x）＞1；
當(dāng)x＜1時(shí)，y=

x+1

2-x

=

-(2-x)+3

2-x

=-1+

3

2-x

在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，
則無最小值、無最大值，且-1＜f（x）＜2
綜上得，f（x）的最大值是2，無最小值，②錯(cuò)誤；
③由②知，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f（x）滿足1＜f（x）≤2，
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）滿足-1＜f（x）＜2，并在各個(gè)區(qū)間為單調(diào)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的值域有公共部分，
故存在x₁≠x₂，有f（x₁）=f（x₂）成立，③錯(cuò)誤．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查了分類討論思想和分離常數(shù)法化簡(jiǎn)分式型的解析式．