Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，且f（

α-β

2

）=

4

13

，f（

α+β

2

）=

4

5

，求sin2α的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角和的余弦公式以及倍角公式將已知化簡為一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答： 解：f(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)+sin2x=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

(1-cos2x)=

1

2

-

1

2

sin2x，
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）因為f(

α-β

2

)=

4

13

，f(

α+β

2

)=

4

5

由（1）k可求sin(α-β)=

5

13

，sin(α+β)=-

3

5

．
∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

∴0＜α-β＜

π

4

π＜α+β＜

3π

2

∴cos(α-β)=

12

13

，cos(α+β)=-

4

5

，
∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=-

56

65

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的等價變換以及角的等價變換求三角函數(shù)值；本題注意2α=（α-β）+（α+β）