Question

【題目】如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=2，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下圖．

（Ⅰ）求證：A1OBD；

（Ⅱ）求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證，再由面面垂直，即可證明線面垂直，再推出線線垂直；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，分別為中點(diǎn)，

故可得，故為等腰三角形，又為中點(diǎn)，

故可得，又因?yàn)槠矫?/span>A1DE平面BCED，且交線為，

又平面，故平面，又平面，

故.即證.

（Ⅱ）過作，由（Ⅰ）可知平面，

又平面，故可得，

又因?yàn)?/span>//，故可得.

綜上所述：兩兩垂直，

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

故可得，

則

設(shè)平面的法向量為，

故可得，即，

取，可得.故.

又，

故可得.

設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，

故可得.

則直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值為.