Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，都在軸上方，并且在之間，且到直線的距離是到直線距離的倍.

①記的面積分別為，求；

②若原點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】

試題本題以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景．第（1）小題設(shè)計(jì)為求橢圓的離心率，只需利用條件是的中點(diǎn)，可得，從而得．第（2）小題中第①題求，需要用等積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即．第②題求橢圓方程，設(shè)直線方程為．注意到，和原點(diǎn)到直線的距離為，，從而可以確定，，的值．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，即，又、，

所以，所以；

（2）①解法一：過作直線的垂線，垂足分別為，依題意，，

又，故，故是的中點(diǎn)，∴，

又是中點(diǎn)，∴，∴；

解法二：∵，∴，橢圓方程為，，，

設(shè)，，點(diǎn)在橢圓上，即有，

同理，

又，故得是的中點(diǎn)，∴，

又是中點(diǎn)，∴，∴；

②解法一：設(shè)，則橢圓方程為，

由①知是的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則，

又都在橢圓上，即有 即

兩式相減得：，解得，

可得，故直線的斜率為，

直線的方程為，即

原點(diǎn)到直線的距離為，

依題意，解得，故橢圓方程為．

解法二：設(shè)，則橢圓方程為，

由①知是的中點(diǎn)，故，

直線的斜率顯然存在，不妨設(shè)為，故其方程為，與橢圓聯(lián)立，并消去得：，整理得：，（*）

設(shè)，，依題意： ]

由 解得：

所以，解之得：，即．

直線的方程為，即

原點(diǎn)到直線的距離為，

依題意，解得，故橢圓方程為．