Question

已知向量

a

=（

3

，t），

b

=（

1

2

，

3

2

），且向量

c

=

a

+（tanθ-3）

b

，

d

=m

a

+

b

tanθ，其中m，θ均為實(shí)數(shù)．
（1）若

a

∥

b

，試求t的值；
（2）若

a

⊥

b

，試求|

a

+

b

|；
（3）當(dāng)t=-1，

c

⊥

d

時(shí)，求實(shí)數(shù)m最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：分別利用向量平行和垂直的坐標(biāo)的關(guān)系得到t的關(guān)系式求之．

解答： 解：（1）若

a

∥

b

，則

3

×

3

2

=

1

2

t，解得t=3；
（2）若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，即

3

2

+

3

2

t=0，解得t=-1，所以|

a

+

b

|²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=4+1=5，所以|

a

+

b

|=

5

；
（3）當(dāng)t=-1時(shí)，向量

a

=（

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），且向量

c

=

a

+（tanθ-3）

b

=，

d

=m

a

+

b

tanθ，所以

c

•

d

=0，即（

a

+（tanθ-3）

b

）（m

a

+

b

tanθ）=m

a

2+

a

•

b

tanθ+m（tanθ-3）

a

•

b

+

b

2tanθ（tanθ-3）=0，所以 m=

(3-tanθ)tanθ

4

=-

1

4

(tanθ-

3

2

)2+

9

16

，
所以tanθ=

3

2

時(shí)，實(shí)數(shù)m最大值為

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量平行的性質(zhì)以及向量垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．