Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

6

6

），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)的直線l，使得在直線x=

3

2

上可以找到一點(diǎn)B，滿足△MNB為正三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，

1 a2 + 1 6b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）問(wèn)是否存在的問(wèn)題在圓錐曲線中就先假設(shè)存在，分斜率存在于不存在加以討論，并把直線方程與橢圓方程進(jìn)行連聯(lián)立，利用設(shè)而不求整體代換進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，

6

6

），離心率e=

6

3

，
∴

1 a2 + 1 6b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a2=

3

2

，b²=

1

2

，
∴橢圓方程為

2

3

x2+2y2=1．
（2）設(shè)存在滿足條件的直線l．
①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由（1）的解答可知|MN|=

2b2

a

=

6

3

，
焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的距離為d=

a2

c

-c=

1

2

，
此時(shí)不滿足d=

3

2

|MN|．
因此，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)不滿足條件．
②當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) 2x2 3 +2y2=1

，得（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

6k2-3

6k2+2

．
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[( 6k2 3k2+1 )2-4× 6k2-3 6k2+2 ]

=-

6 (k2+1)

3k2+1

．
又設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則x_Q=

x1+x2

2

=

3k2

3k2+1

．
當(dāng)△MNP為正三角形時(shí)，直線AB的斜率為k_AB=-

1

k

．
∵x_B=

3

2

，∴|AB|=

1+ 1 k2

|x_B-x_A|=

1+ 1 k2

•（

3

2

-

3k2

3k2+1

）
=

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

．
當(dāng)△MNB為正三角形時(shí)，|AB|=

3

2

|MN|，
即

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

=

3

2

•

6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k²=1，k=±1．
因此，滿足條件的直線l存在，且直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的求法，考查分類討論的思想及把直線方程與圓錐曲線方程進(jìn)行聯(lián)立設(shè)而不求整體代換的思想，還有對(duì)于圓錐曲線中是否存在利用假設(shè)的解題方法．