Question

【題目】在中，，分別為，的中點(diǎn)，，如圖1.以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2.

如圖1 如圖2

（1）證明：平面平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（1）在題圖1中，可證 ，在題圖2中，平面.進(jìn)而得到平面.從而證得平面平面；

（2）可證得平面. .則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：在題圖1中，因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn).由平面幾何知識，得.

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以

在題圖2中，，，且，

所以平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）解：因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，.

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

在題圖1中，設(shè)，則，，，.

則，，，.

所以，，.

設(shè)為平面的法向量，

則，即

令，則.所以.

設(shè)與平面所成的角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.