Question

已知f（x）=a-

1

x

是定義在（0，+∞）上的函數(shù)
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式x²|f（x）|≤1對(duì)x∈[

1

3

，

1

2

]恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法證明；（2）將題目條件轉(zhuǎn)化為x²-ax+1=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的根，從而求解；（3）用換元法化簡(jiǎn)不等式．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=(a-

1

x1

)-(a-

1

x2

)=

x1-x2

x1x2

＜0
∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知y=f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
∴

f(m)=m f(n)=n

，
∴m，n是f(x)=x即a-

1

x

=x的兩個(gè)不等的正根，
∴x²-ax+1=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的根，
∴

△=a2-4＞0 a＞0

，
∴a＞2．
（3）原不等式可化為

1

x

-

1

x2

≤a≤

1

x

+

1

x2

令

1

x

=t，t∈[2，3]，
則t-t²≤a≤t+t²，
∴-2≤a≤6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了單調(diào)性證明的方法、單調(diào)性的應(yīng)用、換元法及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．