Question

某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：（單位：萬美元）

	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷售價	每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)
A產(chǎn)品	20	m	10	200
B產(chǎn)品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m是待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料決定，預(yù)計m∈[6，8]，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x²萬美元的特別關(guān)稅，假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．
（1）求該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請設(shè)計相關(guān)方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）利潤=年銷售收入-固定成本-產(chǎn)品成本-特別關(guān)稅，可求得該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系和定義域；（2）作差法比較年利潤y₁，y_{2^{的大小，設(shè)確定}}計相關(guān)方案．
解答：解：（1）y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20，0＜x≤200，且x∈N
y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40，0＜x≤120且x∈N
（2）∵6≤m≤8
∴10-m＞0
∴y₁=（10-m）x-20為增函數(shù)
又0≤x≤200，x∈N
∴x=200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤（10-m）×200-20=1980-200m（萬美元）
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+4600≤x≤120，x∈N
∴x=100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤460（萬美元）
（y₁）_max-（y₂）_max
=1980-200m-460
=1520-200m                             
當(dāng)6≤m＜7.6時，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
當(dāng)m=7.6時，（y₁）_max-（y₂）_max=0
當(dāng)7.6＜m≤8時，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴當(dāng)6≤m＜7.6投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤
當(dāng)7.6＜m≤8投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤
m=7.6生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤．
點評：考查根據(jù)實際問題抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實際生活中的決策問題，屬中檔題．