Question

5．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]，（t≥0）上的最小值g（t）的最小值；
（Ⅲ）求不等式f（x+2）＜5的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設(shè)x＜0，便有-x＞0，從而可以得到f（-x）=x²+4x=f（x），這樣寫出f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）根據(jù)t≥0，從而可以得出f（x）在區(qū)間[t，t+1]上對應(yīng)的解析式f（x）=x²-4x，對稱軸為x=2，從而可以討論t：分t+1≤2，t＜2＜t+1，和t≥2，然后根據(jù)f（x）的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)的情況，便可得出f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值g（t），然后通過配方求二次函數(shù)最值的方法即可得出g（t）的最小值；
（Ⅲ）可討論x，從而找到f（x+2）對應(yīng)的解析式：x+2≥0時(shí)，便可得到x²-4＜5；而x+2＜0，會得到（x+4）²-4＜5，這樣便可通過解一元二次不等式即可得出每種情況下x的范圍，求并集即可得出原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，設(shè)x＜0，-x＞0，則：
f（-x）=x²+4x=f（x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x}&{x≥0}\\{{x}^{2}+4x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）x∈[t，t+1]，t≥0；
∴f（x）=x²-4x；
①t+1≤2，即t≤1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減；
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-3；
②t＜2＜t+1，即1＜t＜2時(shí)，g（t）=f（2）=-4；
③t≥2時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增；
∴g（t）=f（t）=t²-4t；
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3}&{t≤1}\\{-4}&{1＜t＜2}\\{{t}^{2}-4t}&{t≥2}\end{array}\right.$；
1）t≤1時(shí)，g（t）=（t-1）²-4≥-4；
2）1＜t＜2時(shí)，g（t）=-4；
3）t≥2時(shí)，g（t）=（t-2）²-4≥-4；
∴g（t）的最小值為-4；
（Ⅲ）①若x+2≥0，即x≥-2，f（x+2）=x²-4；
∴解x²-4＜5得，-3＜x＜3；
∴-2≤x＜3；
②若x+2＜0，即x＜-2，f（x+2）=（x+4）²-4；
∴解（x+4）²-4＜5得，-7＜x＜-1；
∴-7＜x＜-2；
綜上得原不等式的解集為（-7，3）．

點(diǎn)評 考查偶函數(shù)的定義，對于偶函數(shù)已知一區(qū)間上的解析式，求對稱區(qū)間上的解析式的方法，二次函數(shù)的單調(diào)性及對稱軸，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，求分段函數(shù)最值的方法，以及解一元二次不等式．