設雙曲線C：
x2
a2
-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（2）設直線l與y軸的交點為P，且P分有向線段
AB
的比為-
5
12
，求實數(shù)a的值．
分析：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故聯(lián)立直線與雙曲線方程后所得的方程組有兩個不同的實數(shù)解，進而可得a的取值范圍，代入e=
c
a
=
a2+b2
a
可得雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（2）由P分有向線段
AB
的比為-
5
12
，可得
PA
=
5
12
PB
，設出A，B兩點坐標，利用韋達定理構(gòu)造關于a的方程，解方程可得a的值．
解答：解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
x2
a2
-y2=1
x+y=1.
有兩個不同的實數(shù)解．消去y并整理得
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①…（2分）
所以
1-a2≠0.
4a4+8a2(1-a2)＞0.
解得0＜a＜
2
且a≠1．…..（5分）
∵雙曲線的離心率e=
c
a
=
a2+b2
a
=
a2+1
a
=
1
a2
+1

0＜a＜
2
且a≠1，
∴e＞
6
2
且e≠
2
…（8分）
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）
∵P分有向線段
AB
的比為-
5
12

∴
PA
=
5
12
PB
，
∴(x1，y1-1)=
5
12
(x2，y2-1)．由此得x1=
5
12
x2…．（9分）
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
∴x1+x2=-
2a2
1-a2
，x1x2=-
2a2
1-a2
…（10分）
∴
17
12
x2=-
2a2
1-a2
，
5
12
x
2
2
=-
2a2
1-a2

消去x2得：-
2a2
1-a2
=
289
60

又∵a＞0
解得a=
17
13
…..（15分）
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，雙曲線的簡單性質(zhì)，是高考的壓軸題型，運算量大，綜合的知識點多，難度較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點為F2，過點F2的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，直線l的斜率為
35
，且
AF2
=2
F2B
；
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）如果F1為雙曲線C的左焦點，且F1到l的距離為 
2
35
3
，求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F(xiàn)為右焦點，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為
b2e2
a
求雙曲線c的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-y2=1 (a＞0) 與直線 l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求a的取值范圍：（2）設直線l與y軸的交點為P，且
PA
=
5
12
PB
．求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），R1，R2是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，
3
），△lR1R2的面積是
3
，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的虛軸長為2
3
，漸近線方程是y=±
3
x，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程．

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