Question

【題目】已知，二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù)，設(shè)．

（1）求的值；

（2）若存在一條與軸垂直的直線和函數(shù)的圖象相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，函數(shù)存在極值？并求出相應(yīng)的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）若時(shí)，，函數(shù)極小值點(diǎn)為；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為（其中，）

【解析】

試題分析：（1）首先用向量的數(shù)量積公式代入到的表達(dá)式中，然后根據(jù)所給出的不等式解集即可求得的值；（2）若存在這樣的直線，則說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可為0，從而對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)與的關(guān)系，根據(jù)不等式得到的范圍，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的范圍；（3）當(dāng)函數(shù)存在極值時(shí)，其導(dǎo)數(shù)必為零點(diǎn)，因此先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于解析式中含實(shí)數(shù)，由此對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而可求得極極值以及極值點(diǎn)．

試題解析：（1）∵，

∴二次函數(shù)，

關(guān)于的不等式的解集為，

也就是不等式的解集為，

∴和 是方程的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理得：，

∴

（2）由（1）得，

∴，

∵存在一條與軸垂直的直線和的圖象相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴．

∵，∴．

令，則，

當(dāng)時(shí)，，

∴在上為增函數(shù)，

從而，∴

（3）的定義域?yàn)?/span>，

∴

方程 （*）的判別式

．

①若時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為，或，

則時(shí)，；時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)存在極小值，極小值點(diǎn)為可取任意實(shí)數(shù)，

②若時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上為增函數(shù)，

此時(shí)在上沒(méi)有極值

下面只需考慮的情況，由，得或，

當(dāng)，則，

故時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)沒(méi)有極值．

當(dāng)時(shí)，，

則時(shí)，時(shí)，時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)存在極大值和極小值，極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn)．

綜上所述，若時(shí)，可取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)函數(shù)有極小值且極小值點(diǎn)為；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值和極小值，此時(shí)極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為（其中）