Question

【題目】已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，動(dòng)點(diǎn)在上，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)的軌跡為.

（I）求曲線的方程；

（II）若直線是曲線的一條切線，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ｉ）；（II）.

【解析】試題分析：（I）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則由可得曲線的軌跡方程；（II）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲線的方程，消去得， 可得，利用點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式求得時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，此時(shí)，即可得直線的方程.

試題解析：

（I）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，即，

當(dāng)時(shí)， 三點(diǎn)共線，不合題意，故，

所以曲線的方程為；

（II）直線與曲線相切，所以直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，

由，得，

直線與曲線相切，

，

點(diǎn)到直線的距離

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，

所以直線的方程為.