如圖在直三棱柱中,.

(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;

(Ⅲ)在上是否存在點,使得∥平面, 若存在,試給出證明;若不存在,請說明理由.

 

 

 

【答案】

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.

由可得.

所以.    (Ⅱ)過作于,連結(jié).

由底面可得.故為二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,,

故所求二面角的余弦值大小為. 

 

 

(Ⅲ)存在點使∥平面,且為中點,下面給出證明.設(shè)與交于點則為中點.

在中, 連結(jié),分別為的中點,故為的中位線,

∥,又平面,平面,    ∥平面.

故存在點為中點,使∥平面.      

解法二 直三棱柱,底面三邊長,

兩兩垂直.

如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系,則

 

 

 

.

(Ⅰ),

,故.             

(Ⅱ)平面的一個法向量為,

設(shè)平面的一個法向量為,,,

由得

令,則.則.故＜＞=.

所求二面角的余弦值大小為.

（3）同上

 

【解析】略

 

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（1）求證：；

（2）求證：。

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(1)求證：；

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（1）求證：；

（2）求證：；

（3）求直線與平面所成角的正切值．

 

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